转化思想在立体几何距离问题中的应用

发布日期：2012-03-02 阅读：6013次

转化思想在立体几何距离问题中的应用

            

      重庆广益中学      张劲    何星颖

转化思想是数学中的一种非常重要的思想方法,在立体几何中作用更明显。下面谈谈转化思想在立体几何距离问题中的应用。

距离是反映空间两异面直线、点与平面、线面平行时线面、面面平行时面面的远近关系，计算的实质是求位于有关元素上两点的距离的最小值。解决立体几何问题的基本思想是将立体几何问题平面化，将空间问题转化为平面问题来处理，而计算这些距离的基本方法是将它们转化为某些线段的距离。

距离问题可以相互利用，相互转化。下面举几个例子来说明转化思想在距离问题中的应用。

例1：在棱长为a的正方体 中，求

面 到平面 的距离；（2）D到平面 的距离；                                                                                                                                   （3）求 到 的距离。

解析：第2问可将点到平面的距离转化为平面 与平面 的距离来解决；第3问可先将异面直线的距离转化为线 到平面 间的距离，再转化为平面与 平面 间的距离。

解：（1）连接 交平面 于N点，交平面 于M点，

（接下来证明 ⊥面 ， ⊥面 ，即线段MN为所求）。 

∵ ⊥ ，

由三垂线定理，则 ⊥

 同理， ⊥ ，又∵ ∩ =

∴ ⊥面 ，同理， ⊥面

∴面 ∥面 ，且MN为所求。

（下面求MN，先用等积法求AM、 ）                 ∵ ，∴求出AM= ，

同理，求出 = ，∴MN= — —AM=

（2）∵面 ∥面 ，D∈面 ，

∴所求D到平面 的距离为面 到平面 的距离，即为

（3）∵ ∥ ，∴ ∥ 所在的面 ，     

∴ 与 的距离为线 到平面 间的距离

又∵ 所在的面 ∥面 ，

∴线 到平面 间的距离即为面 到平面 的距离，即

例2：已知正方形ABCD的边长为4， E、F分别是边AD、AB的中点，GC垂直于ABCD所在的平面且GC=2，求点B到平面EFG的距离。                  

 解析：将点B到平面EFG的距离转化为线BD到平面EFG的距离，再转化为点O到平面EFG的距离。

 解： 设AC∩面GEF=R，连接GR；设AC∩BD=O

∵E、F分别是边AB、CD的中点，

∴EF∥BD，EF= ，AR=OR=

∴BD∥面EFG，∴B到平面EFG的距离为线BD到平面EFG的距离，即求点O到平面EFG的距离   过O作OH⊥GR交GR于H，下证OH为所求

 ∵GC⊥面ABCD，则GC⊥EF   又∵AB⊥CD，EF∥BD，

∴EF⊥AC

∴EF⊥面GCR，

∴EF⊥OH             

又∵OH⊥GR，

∴OH⊥面GEF，

∴OH为所求 

直角ΔOHR∽直角ΔGCR，∴ ，

∴

例3：长为2a的线段AB的两端点分别在直二面角α-L-β的两个平面内，

且与这两个面都成30º角，求异面直线AB与L的距离.

   解：过A作AC⊥L交L于C，∵α⊥β，α∩β=L，∴AC⊥β

       过B作BD⊥L交L于D，∴BD⊥α

       ∴∠BAD= ，∠ABC= ，∴AC⊥BC，BD⊥AD，   

         ∴在ΔACB中，AC=a，在ΔADB中，BD=a 

   在β内过C作CE∥BD且CE=BD，∴CEBD为平行四边形   

∴DC∥BE，BD=CE=a,

连接AE，∴DC∥面AEB，

即L∥面AEB

∴L与AB的距离即L与面AEB的距离

也即C点到面AEB的距离 ，

过C作CH⊥AE交AE于H

（下面证CH为C点到面AEB的距离）  

∵L⊥CE，∴BE⊥CE，

∵AC⊥β，∴AC⊥BE,AC⊥CE

∴BE⊥ACE，∴BE⊥CH

∵CH⊥AE，∴CH⊥面AEB，

CH为C点到面AEB的距离，在直角△ACE中，AC=CE=a，∴CH=

由上面的例子可见，直线到平面的距离、点面距离、面面距离可以相互转化：直线到平面的距离可转化为点面距离或面面距离；点面距离和面面距离可相互转化；异面直线的距离可转化为求线到面的距离，进而转化为求点面距离或面面距离。可见距离问题可以相互利用，相互转化。